Решим уравнение ( x^4 + y^4 + 2 = 4\sqrt{xy} ).

Начнем с упрощения уравнения. Для удобства обозначим ( a = x^2 ) и ( b = y^2 ). Тогда ( x^4 = a^2 ) и ( y^4 = b^2 ), и наше уравнение можно записать как:

[
a^2 + b^2 + 2 = 4\sqrt{ab}
]

Преобразуем это уравнение, переместив все члены в одну сторону:

[
a^2 + b^2 - 4\sqrt{ab} + 2 = 0
]

Теперь заметим, что выражение ( a^2 + b^2 - 4\sqrt{ab} ) можно преобразовать. Воспользуемся следующим фактом:

[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
]

Подставим это в уравнение:

[
(a + b)^2 - 2ab - 4\sqrt{ab} + 2 = 0
]

Теперь подставим ( t = \sqrt{ab} ), таким образом ( ab = t^2 ), и ( \sqrt{ab} = t ). Тогда ( a + b ) можно выразить через ( t ):

Заменяем ( ab ):

[
(a + b)^2 - 2t^2 - 4t + 2 = 0
]

Теперь воспользуемся полным квадратом и попробуем найти его корни. Распишем это характеристическое уравнение. Для этого заметим, что числовая форма полного квадрата может быть следующей:

[
a^2 - 4a + 2 = 0
]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8
]

Теперь найдем корни:

[
a = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = 2 \pm \sqrt{2}
]

Так как ( y^2 = b ) аналогично. У нас получаются два возможных значения для ( a ) и ( b ).

Значит, ( x^2 = 2 + \sqrt{2} ) или ( x^2 = 2 - \sqrt{2} ), и аналогично для ( y ). Экстраполируем обратно в ( x ) и ( y ):

( x^2 = 2 + \sqrt{2} ) тогда:
[
x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{2}}
]( x^2 = 2 - \sqrt{2} ) тогда:
[
x = \pm \sqrt{2 - \sqrt{2}}
]

Аналогично и для ( y ).

Таким образом, уравнения имеют следующие решения:

[
x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{2}}, \quad y = \pm \sqrt{2 + \sqrt{2}}
]
или
[
x = \pm \sqrt{2 - \sqrt{2}}, \quad y = \pm \sqrt{2 - \sqrt{2}}
]

Все комбинации этих значений ( (x, y) ) будут решениями данного уравнения.