Для поиска числа, состоящего из одних единиц (например, 1111 или 111111), которое делится на 999, можно воспользоваться простым методом.

Число, состоящее из ( n ) единиц, можно представить как:

[
\frac{10^n - 1}{9}
]

То есть, мы ищем минимальное ( n ), для которого:

[
\frac{10^n - 1}{9} \mod 999 = 0
]

Это означает, что:

[
10^n - 1 \equiv 0 \mod 8991
]

где ( 8991 = 999 \times 9 ).

Теперь мы ищем наименьшее ( n ), такое что ( 10^n \equiv 1 \mod 8991 ).

Зная, что порядок числа 10 по модулю 8991 является делителем ( \phi(8991) ), можно воспользоваться вычислением ( \phi ):

[
8991 = 999 \times 9 = 3^3 \times 37
]
И соответственно:

[
\phi(8991) = (999 \times \frac{2}{3}) \times (9 \times \frac{8}{9}) = 666 \times 8 = 5328
]

Теперь мы вычисляем ( 10^n \mod 8991 ) для всех делителей порядка (например 1, 2, 3, ..., 5328) пока не найдём минимальное ( n ), для которого ( 10^n \equiv 1 \mod 8991 ).

Однако проще всего будет выполнить проверку начиная от ( n = 1 ).

В результате вычислений найдем, что минимум ( n ), на которое ( 10^n \equiv 1 \mod 8991 ), равен 27.

При этом число, состоящее из 27 единиц можно записать как

[
\frac{10^{27} - 1}{9}
]

Такое число делится на 999. Его можно записать как ( 111111111111111111111111111 ).