Для доказательства параллельности прямых ( LK ) и ( AB ) при заданных условиях, воспользуемся свойствами биссектрисы и углов.

Пусть треугольник ( ABC ) имеет следующие обозначения:

( A ) — вершина треугольника.( B ) и ( C ) — другие вершины.( K ) — точка на стороне ( AC ), такая что ( AB = CK ) и ( \angle ABK = \angle BCA ).( L ) — основание биссектрисы из точки ( A ).

Согласно свойствам биссектрисы, ( AL ) делит угол ( \angle BAC ) пополам и создаёт углы ( \angle BAL ) и ( \angle CAL ), такие что ( \angle BAL = \angle CAL ).

Теперь проанализируем углы, основываясь на условии задачи:

Поскольку ( \angle ABK = \angle BCA ) и ( AK ) — продолжение стороны ( AC ), то угол ( \angle ABK ) равен углу ( \angle BCA ).

Таким образом, из условия ( AB = CK ), согласно теореме о равенстве углов, мы можем заключить, что ( \triangle ABK ) подобен ( \triangle ACB ) по углам — угол ( \angle ABK ) равен углу ( \angle ACB ), как мы уже указали, а ( \angle A ) у них общий.

Из подобия треугольников ( \triangle ABK \sim \triangle ACB ) следует, что ( \frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB} ) и, следовательно, ( K ) делит отрезок ( AC ) в том же соотношении, что и основание биссектрисы ( L ).

Поскольку ( AL ) делит угол ( \angle BAC ) пополам, а отрезок ( LK ) будет находиться на той же прямой, что и ( AB ); значит, угол ( ALK ) равен углу ( ABL ), что делает углы ( \angle ALK ) и ( \angle ABK ) равными.

В результате, если два угла равны и лежат на одной прямой, то соответствующие прямые ( LK ) и ( AB ) должны быть параллельны по теореме о параллельных прямых через равные углы.

Таким образом, мы приходим к выводу, что прямые ( LK ) и ( AB ) действительно параллельны.