Для начала давайте проанализируем данное уравнение Ферма:

[
3^3 + 1^3 = 2^3 \quad (\text{mod } 10)
]

Вычислим это:

[
3^3 = 27 \quad \Rightarrow \quad 27 \mod 10 = 7
]
[
1^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 \mod 10 = 1
]
[
2^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad 8 \mod 10 = 8
]

Теперь складываем:

[
3^3 + 1^3 = 27 + 1 = 28 \quad \Rightarrow \quad 28 \mod 10 = 8
]

Теперь сравниваем с (2^3):

[
8 \equiv 8 \quad (\text{mod } 10),
]

это уравнение выполняется. Таким образом, для первой части уравнения Ферма с ( x = 3, y = 1, z = 2 ).

Теперь переходим к следующему уравнению:

[
713^3 + 711^3 = 162^3 \quad (\text{mod } 1000)
]

В вычислениях для упростим три числа до остатка по модулю 1000.

Вычисления:

Вычислим каждое число по модулю 1000:

[
713 \mod 1000 = 713,
]
[
711 \mod 1000 = 711,
]
[
162 \mod 1000 = 162.
]

Теперь посчитаем каждую из степеней:

[
713^3 = 713 \times 713 \times 713 \mod 1000
]
[
= 509369 \times 713 \mod 1000 \equiv 369 \mod 1000,
]
(подсчеты можно делать по частям)

[
711^3 = 711 \times 711 \times 711 \mod 1000
]
[
= 505521 \times 711 \mod 1000 \equiv 521 \mod 1000,
]
(также считаем по частям)

Складываем:

[
369 + 521 \equiv 890 \mod 1000.
]

Теперь можем посчитать (162^3):

[
162^3 = 162 \times 162 \times 162 = 26244 \mod 1000 \equiv 244.
]

Теперь:

[
713^3 + 711^3 = 890 \quad \text{и} \quad 162^3 = 244.
]

Так как (890 \neq 244) по модулю 1000, это уравнение не выполняется.

Таким образом, для 10-адических чисел мы получили:

Для решения (3^3 + 1^3 = 2^3) имеются значения (x = 3), (y = 1), (z = 2).Для уравнения (713^3 + 711^3 = 162^3) не выполняется.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими уравнениями, не стесняйтесь задавать!