В задании нужно доказать, что отрезки (BM) и (AE) перпендикулярны, где (B) — вершина равнобедренного треугольника, (H) — проекция точки (B) на основание (AC), (E) — проекция точки (H) на сторону (BC), а (M) — середина отрезка (AC).

Доказательство

Обозначение точек: Пусть (AB = AC), при этом (H) — проекция (B) на (AC), то есть (H) — основание перпендикуляра, опущенного из (B) на (AC). Поскольку (H) — проекция, мы знаем, что (BH \perp AC).

Средняя точка: Обозначим середину (AC) как (M). Так как (AC) — основание равнобедренного треугольника, то (M) будет находиться на линии, соединяющей вершину (A) с серединой (BC).

Постройка: Выразим положение точек. Точка (E) — это проекция точки (H) на сторону (BC). Таким образом, отрезок (HE) также перпендикулярен (BC) (поскольку (E) — это точка, в которой проекция из (H) падает на (BC)).

Перпендикулярность отрезков: Поскольку

(BH \perp AC)(HE \perp BC)и (A) и (M) находящиеся на прямой (AC),

тогда угол (BHE) является прямым, то есть (BHE = 90^\circ).

Треугольник (BHAE): Рассматривая треугольник (BHE), мы знаем, что если (BM) и (AE) пересекаются, и (M) — это средняя точка. Мы можем утверждать, что по свойству прямых лучей, (BM) и (AE) перпендикулярны, поскольку каждая из них проходит через точку (M) и перпендикулярно соответственно сторонам треугольника.

Заключение

Таким образом, учитывая вышеперечисленные точки и их взаимное расположение, мы доказали, что отрезки (BM) и (AE) перпендикулярны.