Для того чтобы найти количество различных треугольников с целочисленными сторонами и периметром 12 см, обозначим длины сторон треугольника как (a), (b) и (c). Поскольку периметр треугольника равен 12, мы можем записать:

[
a + b + c = 12
]

При этом необходимо учитывать условия неравенства треугольника, которые гласят, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Эти условия можно записать следующим образом:

(a + b > c)(a + c > b)(b + c > a)

Для удобства будем считать, что (a \leq b \leq c). Таким образом, из первого неравенства (a + b > c) следует, что (a + b > 12 - (a + b)), что можно переписать как:

[
2(a + b) > 12
]

Следовательно,

[
a + b > 6
]

Так как (c = 12 - a - b), мы можем выразить (c) через (a) и (b):

Так как (c) является наибольшей стороной, то можно ещё записать:

[
c < a + b
]

Это условие автоматически выполняется, если (a + b > 6).

Теперь мы можем рассмотреть целочисленные комбинации (a), (b) и (c):

Чтобы найти такие комбинации, можем перебрать все возможные значения (a) и (b), а (c) будет вычисляться как (c = 12 - a - b). Мы также должны учитывать, что (a \leq b).

Рассмотрим все возможные значения (a):

(a = 1):

(b + c = 11)Возможные значения: (b = 1) (11), (b = 2) (10), (b = 3) (9), (b = 4) (8), (b = 5) (7), (b = 6) (6) – соответствует (1, 1, 10) и (1, 5, 6), но не удовлетворяет неравенствам.

(a = 2):

(b + c = 10)Возможные значения: (b = 2) (8), (b = 3) (7), (b = 4) (6), (b = 5) (5). Подходящие комбинации: (2, 5, 5), (2, 4, 6) и (2, 2, 8), два треугольника.

(a = 3):

(b + c = 9)Возможные значения: (b = 3) (6), (b = 4) (5), (c) больше (b) (4).Подходящие комбинации: (3, 4, 5).

(a = 4):

(b + c = 8)Возможные значения: (b = 4) (4).Подходящие комбинации: (4, 4, 4).

Теперь подсчитаем:

(1, 1, 10) - не подходит(1, 5, 6) - не подходит(2, 2, 8) - не подходит (2, 3, 7) - не подходит (2, 4, 6) - не подходит(3, 4, 5) - подходит(4, 4, 4) - подходит

Таким образом, существуют разные треугольники:

(3, 4, 5)(4, 4, 4)

Итак, отвечая на вопрос, существует 3 различных треугольника с периметром 12 см.