Чтобы найти значение ( p ) и второй корень уравнения ( x^2 + px - 32 = 0 ), мы начнем с того, что подставим известный корень (число 8) в уравнение.

Подставляем ( x = 8 ):

[
8^2 + p \cdot 8 - 32 = 0
]

Решаем уравнение:

[
64 + 8p - 32 = 0
]

Упрощаем:

[
32 + 8p = 0
]

[
8p = -32
]

[
p = -4
]

Теперь, когда мы нашли значение ( p = -4 ), можем записать полное уравнение:

[
x^2 - 4x - 32 = 0
]

Чтобы найти второй корень уравнения, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

Здесь ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = -32 ).

Вычислим дискриминант:

[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144
]

Вычислим корни:

[
x = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 12}{2}
]

Теперь найдем два корня:

( x_1 = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 ) (первый корень)( x_2 = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ) (второй корень)

Итак, значение ( p = -4 ), а второй корень уравнения равен ( -4 ).