Чтобы решить уравнение ( x^3 + 4x + 39 = 0 ), можно использовать численные методы или метод проб и ошибок для нахождения корней.

Первый шаг — это поиск возможных рациональных корней с помощью теоремы о рациональных корнях, но в данном случае корни будут, скорее всего, иррациональными или комплексными.

Подставим несколько значений ( x ):

При ( x = -3 ):
[
(-3)^3 + 4(-3) + 39 = -27 - 12 + 39 = 0
]
Итак, ( x = -3 ) — один корень уравнения.

Теперь мы можем упростить уравнение, используя корень ( x + 3 ). Для этого выполним деление полинома ( x^3 + 4x + 39 ) на ( x + 3 ):

При делении:

( x^3 \div x = x^2 )

Умножаем ( x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 ) и вычитаем:
[
(x^3 + 4x + 39) - (x^3 + 3x^2) = -3x^2 + 4x + 39
]

( -3x^2 \div x = -3x )

Умножаем ( -3x(x + 3) = -3x^2 - 9x ) и вычитаем:
[
(-3x^2 + 4x + 39) - (-3x^2 - 9x) = 13x + 39
]

( 13x \div x = 13 )

Умножаем ( 13(x + 3) = 13x + 39 ) и вычитаем:
[
(13x + 39) - (13x + 39) = 0
]

Таким образом, мы выражаем исходное уравнение как:
[
(x + 3)(x^2 - 3x + 13) = 0
]

Теперь нам осталось решить квадратное уравнение ( x^2 - 3x + 13 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 9 - 52 = -43
]
Поскольку дискриминант отрицателен, у этого уравнения два комплексных корня:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{-43}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{43}}{2}
]

Таким образом, у уравнения ( x^3 + 4x + 39 = 0 ) есть один действительный корень и два комплексных:

( x_1 = -3 )( x_2 = \frac{3 + i\sqrt{43}}{2} )( x_3 = \frac{3 - i\sqrt{43}}{2} )