Обозначим внешний угол при вершине ( A ) как ( x ). Тогда внешний угол при вершине ( C ) будет равен ( x - 30^\circ ).

Согласно свойству внешних углов треугольника, мы имеем следующее равенство:

[
\text{внешний угол при A} = \text{угол B} + \text{угол C}
]

Таким образом,

[
x = 30^\circ + \angle C
]

Также для внешнего угла при вершине ( C ) мы можем записать:

[
\text{внешний угол при C} = \text{угол A} + \text{угол B}
]

В нашем случае внешний угол при ( C ) равен ( x - 30^\circ ), тогда:

[
x - 30^\circ = \angle A + 30^\circ
]

Теперь мы можем подставить значение ( x ) из первого уравнения во второе уравнение:

[
(30^\circ + \angle C) - 30^\circ = \angle A + 30^\circ
]

Упрощая уравнение, получим:

[
\angle C = \angle A + 30^\circ
]

Теперь у нас есть два уравнения:

( \angle C = \angle A + 30^\circ )( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ )

Подставим ( \angle B = 30^\circ ) и ( \angle C = \angle A + 30^\circ ) в уравнение суммы углов треугольника:

[
\angle A + 30^\circ + (\angle A + 30^\circ) = 180^\circ
]

Упрощая, получаем:

[
2\angle A + 60^\circ = 180^\circ
]

Из этого уравнения найдем ( \angle A ):

[
2\angle A = 120^\circ \implies \angle A = 60^\circ
]

Теперь мы можем найти ( \angle C ):

[
\angle C = \angle A + 30^\circ = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ
]

Итак, мы выяснили, что углы треугольника ( ABC ) равны:

[
\angle A = 60^\circ, \quad \angle B = 30^\circ, \quad \angle C = 90^\circ
]

Теперь, поскольку ( \angle C ) является прямым углом, треугольник ( ABC ) является прямоугольным треугольником, и наибольшая сторона будет гипотенузой, которая противолежит углу ( C ).

Пусть ( AB = c ), ( BC = a ), ( AC = b ). У нас имеется следующее соотношение для сторон в прямоугольном треугольнике:

[
a^2 + b^2 = c^2
]

С учетом того, что угол ( B = 30^\circ ) и угол ( A = 60^\circ ), сможем использовать соотношения сторон в этом прямоугольном треугольнике:

( \frac{a}{c} = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} )( \frac{b}{c} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} )

Таким образом,

( a = \frac{c}{2} )( b = \frac{\sqrt{3}}{2}c )

Наибольшая сторона треугольника ( ABC ) — это ( c ), гипотенуза.

Таким образом, наибольшая сторона треугольника ( ABC ) равна гипотенузе, которая является стороной ( AB ).