Для решения уравнения (4 \cdot 2^x = 3^{(3x + 4)/x}), начнем с преобразования обеих сторон.

Приведем левую часть к более удобному виду:

[
4 \cdot 2^x = 2^2 \cdot 2^x = 2^{x + 2}
]

Теперь уравнение принимает вид:

[
2^{x + 2} = 3^{(3x + 4)/x}
]

Возьмем логарифм по основанию 10 (или натуральный), чтобы упростить уравнение:

[
\log(2^{x + 2}) = \log\left(3^{(3x + 4)/x}\right)
]

Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнение:

[
(x + 2) \cdot \log(2) = \frac{3x + 4}{x} \cdot \log(3)
]

Умножим обе стороны на (x) (где (x \neq 0)):

[
x(x + 2) \cdot \log(2) = (3x + 4) \cdot \log(3)
]

Раскроем скобки:

[
x^2 \log(2) + 2x \log(2) = 3x \log(3) + 4 \log(3)
]

Переносим все в одну сторону:

[
x^2 \log(2) + 2x \log(2) - 3x \log(3) - 4 \log(3) = 0
]

Соберем все члены:

[
x^2 \log(2) + \left(2 \log(2) - 3 \log(3)\right)x - 4 \log(3) = 0
]

Теперь это квадратное уравнение для (x):

[
a = \log(2), \quad b = 2 \log(2) - 3 \log(3), \quad c = -4 \log(3)
]

Решим его с помощью формулы дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac
]

Подставляем значения:

[
D = (2 \log(2) - 3 \log(3))^2 - 4 \cdot \log(2) \cdot (-4 \log(3))
]

[
D = (2 \log(2) - 3 \log(3))^2 + 16 \log(2) \log(3)
]

Находим корни:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]

Подставив значения (a), (b) и (D):

[
x = \frac{-(2 \log(2) - 3 \log(3)) \pm \sqrt{(2 \log(2) - 3 \log(3))^2 + 16 \log(2) \log(3)}}{2 \log(2)}
]

Теперь надо вычислить решения с помощью вышеуказанного выражения. Зависимости от значений логарифмов могут дать конкретные корни, поэтому рекомендуется выполнить вычисления до конца, подставив численные значения.

Однако, часто такие уравнения могут быть более эффективно решены численным методом (например, методом Ньютона или графически) для получения приближенного значения (x).