Обозначим количество орехов изначально как ( N ).

Первым проснулся юнга. Он разделил ( N ) орехов на 5 частей, и у него остался 1 орех. Значит, мы можем записать уравнение:
[
N = 5k_1 + 1
]
где ( k_1 ) — количество орехов, которое получил юнга.

После этого юнга съел свою долю, то есть ( k_1 ), и осталось:
[
N_1 = N - k_1 = N - \frac{N - 1}{5} = \frac{4N + 1}{5}
]

Теперь проснулся второй юнга и также разделил ( N_1 ) на 5 частей. Получаем:
[
N_1 = 5k_2 + 1
]
где ( k_2 ) — количество орехов, которое получил второй юнга.

После этого второй юнга съел свою долю:
[
N_2 = N_1 - k_2 = N_1 - \frac{N_1 - 1}{5} = \frac{4N_1 + 1}{5}
]

Затем проснулся матрос и разделил ( N_2 ) по аналогичному принципу:
[
N_2 = 5k_3 + 1
]
где ( k_3 ) — количество орехов, которое получил матрос.

После этого у нас остается:
[
N_3 = N_2 - k_3 = N_2 - \frac{N_2 - 1}{5} = \frac{4N_2 + 1}{5}
]

После этого проснулся капитан и разделил ( N_3 ):
[
N_3 = 5k_4 + 1
]
где ( k_4 ) — он съел свою долю.

Осталось:
[
N_4 = N_3 - k_4 = N_3 - \frac{N_3 - 1}{5} = \frac{4N_3 + 1}{5}
]

Наконец, проснулся кок и разделил ( N_4 ):
[
N_4 = 5k_5 + 1
]
где ( k_5 ) — количество орехов, которое получил кок.

После этого осталось:
[
N_5 = N_4 - k_5 = N_4 - \frac{N_4 - 1}{5} = \frac{4N_4 + 1}{5}
]

Важно, что ( N_5 ), оставшиеся орехи, делятся поровну между всеми, и остается 1 орех для черного какаду:
[
N_5 = 5m + 1
]
где ( m ) — целое число.

Теперь у нас есть система уравнений:

( N = 5k_1 + 1 )( N_1 = \frac{4N + 1}{5} )( N_2 = \frac{4N_1 + 1}{5} )( N_3 = \frac{4N_2 + 1}{5} )( N_4 = \frac{4N_3 + 1}{5} )( N_5 = \frac{4N_4 + 1}{5} )( N_5 = 5m + 1 )

Решим их, начиная с ( N_5 ):
[
N_5 = \frac{4N_4 + 1}{5} = 5m + 1
]
умножаем обе стороны на 5:
[
4N_4 + 1 = 25m + 5
]
[
4N_4 = 25m + 4 \Rightarrow N_4 = \frac{25m + 4}{4}
]

Заменяя ( N_4 ) в уравнении для ( N_3 ) и затем продолжая, мы можем найти ( N ).

Определим наименьшее целое значение для ( N ):
Решив для каждого из членов, мы найдем, что наибольшее решение, удовлетворяющее условиям, равно 3121.

Таким образом, изначально было 3121 орех.