Для решения задачи о нахождении длины стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) можно использовать закон косинусов. Формула закона косинусов выглядит следующим образом:

[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]

Где:

( c ) — длина стороны, которую мы ищем (в нашем случае, это ( AC )),( a ) и ( b ) — длины двух других сторон (в нашем случае, это ( AB ) и ( BC )),( C ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ) (в нашем случае, это угол ( ABC )).

Подставим значения:

( a = AB = 5 \, \text{см} )( b = BC = 8 \, \text{см} )( C = \angle ABC = 120^\circ )

Сначала найдем ( \cos(120^\circ) ):
[
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}
]

Теперь подставим значения в формулу:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)
]
[
AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
]
[
AC^2 = 25 + 64 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
]
[
AC^2 = 25 + 64 + 40
]
[
AC^2 = 129
]

Таким образом, длина стороны ( AC ) в квадрате равна ( 129 ).

Ответ: ( 129 ).