Метод разложения свободного члена на множители для поиска корней в теории чисел и в частности в контексте теоремы Безу (или теоремы Безу о делимости многочленов) является удобным инструментом и связан с тем, как многочлены ведут себя в целом.

Сначала давайте напомним, о чем идет речь. Т. Безу утверждает, что многочлен ( f(x) ) делится на многочлен ( (x - a) ) (где ( a ) — корень) тогда и только тогда, когда ( f(a) = 0 ). Если говорить о многочленах с целыми коэффициентами, то свободный член ( b_0 ) (при ( f(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + b_0 )) может быть причиной нахождения целых корней.

Корень ( a ) многочлена должен быть делителем свободного члена ( b_0 ), так как если подставить ( a ) в многочлен и приравнять его нулю, то вы получите, что значение многочлена при ( x = a ) равно нулю. Поскольку значение многочлена при ( x = a ) можно выразить через свободный член и значения других членов многочлена, можно утверждать, что ( a ) должно делить ( b_0 ).

Вот более формальное объяснение.

Если ( f(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + b_0 ) и ( a ) — корень ( f(x) ), то:

[
f(a) = an a^n + a{n-1} a^{n-1} + ... + a_1 a + b_0 = 0,
]

Отсюда следует:

[
b_0 = - (an a^n + a{n-1} a^{n-1} + ... + a_1 a).
]

Чтобы ( b_0 ) было равно нулю, сумма всех множителей также должна быть равна нулю, что возможно только в том случае, если ( a ) делит ( b_0 ).

Таким образом, фактически при разложении свободного члена на множители мы ищем кандидатов на нормы, которые могут быть корнями многочлена, и проверяем их соответствие условию, что они являются делителями свободного члена. Этот подход позволяет значительно сузить область поиска, что и объясняет, почему его так часто используют при поиске целых корней многочленов.