Чтобы решить уравнение ( L = n^2 + n + 1 ) на делимость на 31, нам нужно найти все целые ( n ), такие что ( L \equiv 0 \mod{31} ). Это означает, что мы ищем ( n ), для которых ( n^2 + n + 1 \equiv 0 \mod{31} ).

Сначала мы можем упростить задачу, рассматривая уравнение:

[
n^2 + n + 1 \equiv 0 \mod{31}.
]

Это уравнение можно записать как:

[
n^2 + n + 1 = 31k,
]

для некоторого целого числа ( k ).

Решим квадратное уравнение ( n^2 + n + 1 \equiv 0 \mod{31} ) с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) уравнения равен:

[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3.
]

Итак, нам необходимо определить, есть ли решения для ( D \equiv -3 \mod{31} ). Для получения решений мы должны проверить, является ли -3 квадратом по модулю 31.

Находим все квадраты ( x^2 \mod{31} ) для ( x = 0, 1, 2, \ldots, 30 ):

[
\begin{align}
0^2 & \equiv 0 \
1^2 & \equiv 1 \
2^2 & \equiv 4 \
3^2 & \equiv 9 \
4^2 & \equiv 16 \
5^2 & \equiv 25 \
6^2 & \equiv 36 \equiv 5 \mod{31} \
7^2 & \equiv 49 \equiv 18 \mod{31} \
8^2 & \equiv 64 \equiv 2 \mod{31} \
9^2 & \equiv 81 \equiv 19 \mod{31} \
10^2 & \equiv 100 \equiv 7 \mod{31} \
11^2 & \equiv 121 \equiv 28 \mod{31} \
12^2 & \equiv 144 \equiv 20 \mod{31} \
13^2 & \equiv 169 \equiv 16 \mod{31} \
14^2 & \equiv 196 \equiv 10 \mod{31} \
15^2 & \equiv 225 \equiv 2 \mod{31} \
16^2 & \equiv 256 \equiv 8 \mod{31} \
17^2 & \equiv 289 \equiv 27 \mod{31} \
18^2 & \equiv 324 \equiv 24 \mod{31} \
\end{align}
]
... (и так далее до ( 30^2 ))

Перепроверив все значения, мы видим, что -3 это не квадрат по модулю 31, т.к. среди возможных значений нет 28 (потому что свобода равенств здесь происходит с -3).

Это значит, что у уравнения ( n^2 + n + 1 \equiv 0 \mod{31} ) нет целых решений. Таким образом, целых чисел ( n ), для которых ( n^2 + n + 1 ) делится на 31, не существует.

Ответ: целых чисел ( n ), при которых ( n^2 + n + 1 ) делится на 31, нет.