Давайте решим задачу с яблоками.

Обозначим количество яблок за ( N ).

Из условия мы знаем:

Если упаковывать яблоки по 3, то 1 яблоко остается лишним. Это можно записать как:
[
N \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3)
]
То есть ( N = 3k + 1 ) для некоторого целого ( k ).

Если упаковывать яблоки по 7, то 5 яблок остаются лишними:
[
N \equiv 5 \ (\text{mod} \ 7)
]
То есть ( N = 7m + 5 ) для некоторого целого ( m ).

Теперь у нас есть две congruences:

( N = 3k + 1 )( N = 7m + 5 )

Теперь мы приравняем эти два уравнения:
[
3k + 1 = 7m + 5
]

Перепишем это уравнение:
[
3k - 7m = 4
]

Это линейное диофантово уравнение. Мы можем найти одно решение и затем выразить общее решение.

Попробуем подставить различные значения ( m ) и найти целые ( k ):

Для ( m = 1 ):
[
3k - 7 \times 1 = 4 \implies 3k = 11 \implies k = \frac{11}{3} \, (\text{нецелое решение})
]Для ( m = 2 ):
[
3k - 7 \times 2 = 4 \implies 3k = 18 \implies k = 6 \, (\text{целое решение})
]

Мы нашли одно решение: ( k = 6 ) и ( m = 2 ).

Теперь подставим это значение ( k ) в формулу для ( N ):
[
N = 3k + 1 = 3 \times 6 + 1 = 18 + 1 = 19.
]

Проверим найденное значение ( N = 19 ):

При упаковке по 3:
[
19 \div 3 = 6 \text{ (остаток 1)}
]
Остаток действительно 1.При упаковке по 7:
[
19 \div 7 = 2 \text{ (остаток 5)}
]
Остаток действительно 5.

Таким образом, общее количество яблок:
[
\boxed{19}
]