Давайте рассмотрим треугольник с вершинами ( A(1, 3) ), ( B(3, 7) ), ( C(5, 6) ).

1. Уравнение медианы, проведенной из вершины A

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину и середину противоположной стороны. Сначала найдем середину отрезка ( BC ).

Координаты середины ( M ) отрезка ( BC ) вычисляются по формуле:
[
M \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
]

Подставляя координаты точек ( B ) и ( C ):
[
M \left( \frac{3 + 5}{2}, \frac{7 + 6}{2} \right) = M \left( \frac{8}{2}, \frac{13}{2} \right) = M(4, 6.5)
]

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки ( A(1, 3) ) и ( M(4, 6.5) ).

Сначала найдем наклон прямой:
[
k = \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \frac{6.5 - 3}{4 - 1} = \frac{3.5}{3} = \frac{7}{6}
]

Теперь уравнение прямой в общем виде можно записать так:
[
y - y_A = k(x - x_A)
]
Подставляем значения:
[
y - 3 = \frac{7}{6}(x - 1)
]
Упростим:
[
y - 3 = \frac{7}{6}x - \frac{7}{6}
]
[
y = \frac{7}{6}x + 3 - \frac{7}{6}
]
Переведем 3 в шестые доли:
[
3 = \frac{18}{6} \Rightarrow y = \frac{7}{6}x + \frac{18}{6} - \frac{7}{6}
]
[
y = \frac{7}{6}x + \frac{11}{6}
]

Таким образом, уравнение медианы, проведенной из вершины ( A ), будет:
[
y = \frac{7}{6}x + \frac{11}{6}
]

2. Длина и уравнение высоты, проведенной из вершины B

Для нахождения высоты, проведенной из точки ( B ) к стороне ( AC ), сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки ( A ) и ( C ).

Наклон прямой ( AC ):
[
k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{6 - 3}{5 - 1} = \frac{3}{4}
]

Уравнение прямой ( AC ):
[
y - yA = k{AC}(x - x_A)
]
Подставим данные:
[
y - 3 = \frac{3}{4}(x - 1)
]

Упрощая, получаем:
[
y - 3 = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}
]
[
y = \frac{3}{4}x + 3 - \frac{3}{4}
]
[
y = \frac{3}{4}x + \frac{12}{4} - \frac{3}{4}
]
[
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4}
]

Теперь у нас есть уравнение прямой ( AC ):
[
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4}
]

Теперь найдем перпендикуляр ( y = -\frac{4}{3}x + b ), проходящий через точку ( B(3, 7) ).

Подставим координаты ( B ) в уравнение:
[
7 = -\frac{4}{3}(3) + b
]
[
7 = -4 + b \Rightarrow b = 11
]

Уравнение высоты, проведенной из вершины ( B ):
[
y = -\frac{4}{3}x + 11
]

Теперь найдем точку пересечения прямых ( AC ) и высоты ( B ):
[
\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} = -\frac{4}{3}x + 11
]

Умножим уравнение на 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3) для удобства:
[
9x + 27 = -16x + 132
]
[
9x + 16x = 132 - 27
]
[
25x = 105 \Rightarrow x = \frac{105}{25} = \frac{21}{5}
]

Теперь подставим ( x = \frac{21}{5} ) в уравнение высоты, чтобы найти ( y ):
[
y = -\frac{4}{3} \cdot \frac{21}{5} + 11 = -\frac{84}{15} + 11 = -\frac{84}{15} + \frac{165}{15} = \frac{81}{15} = \frac{27}{5}
]

Теперь длина высоты от ( B(3, 7) ) до точки ( P\left(\frac{21}{5}, \frac{27}{5}\right) ):
[
d = \sqrt{\left(3 - \frac{21}{5}\right)^2 + \left(7 - \frac{27}{5}\right)^2}
= \sqrt{\left(\frac{15}{5} - \frac{21}{5}\right)^2 + \left(\frac{35}{5} - \frac{27}{5}\right)^2}
= \sqrt{\left(-\frac{6}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2}
= \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2
]

Ответы:Уравнение медианы из точки ( A ):
[
y = \frac{7}{6}x + \frac{11}{6}
]Уравнение высоты из точки ( B ):
[
y = -\frac{4}{3}x + 11
]Длина высоты:
[
2
]