Для решения заданий 1 и 2, давайте по очереди разберем каждое из них.

Задание 1

Находим радиус конуса. Дано:

Высота ( h = 8 ) смУгол между образующей и радиусом ( \alpha = 45^\circ )

В треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, можем использовать отношение:
[
\tan(\alpha) = \frac{h}{r}
]
Подставим известные значения:
[
\tan(45^\circ) = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{8}{r} = 1 \quad \Rightarrow \quad r = 8 \text{ см}
]

Находим длину образующей. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике:
[
l = \sqrt{h^2 + r^2}
]
Подставляем значения:
[
l = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ см} \approx 11.31 \text{ см}
]

Находим площадь основания. Площадь круга (основания) определяется по формуле:
[
S{осн} = \pi r^2
]
Подставляем значения:
[
S{осн} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \text{ см}^2 \approx 201.06 \text{ см}^2
]

Находим площадь поверхности конуса. Площадь поверхности конуса:
[
S{пов} = S{осн} + S{бок} = \pi r^2 + \pi r l
]
Подставляем значения:
[
S{бок} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} = 64\sqrt{2}\pi
]
В итоге:
[
S_{пов} = 64\pi + 64\sqrt{2}\pi = 64\pi(1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2 \approx 282.74 \text{ см}^2
]

Находим объем конуса. Объем конуса определяется формулой:
[
V = \frac{1}{3} S_{осн} h
]
Подставляем значения:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 64\pi \cdot 8 = \frac{512\pi}{3} \text{ см}^3 \approx 536.2 \text{ см}^3
]

Задание 2

Вычисляем объем шара и площадь поверхности. Дано: радиус ( r = 3 ) см.

Объем шара:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi \text{ см}^3 \approx 113.1 \text{ см}^3
]

Площадь поверхности шара:
[
S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \text{ см}^2 \approx 113.1 \text{ см}^2
]

Находим длину большой окружности (экватора). Длина окружности вычисляется по формуле:
[
C = 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \text{ см} \approx 18.85 \text{ см}
]

Таким образом, мы нашли все необходимые значения для заданий.