Для решения уравнения ( 9x^2 + 6x + 1 = (2x - 3)^2 ) начнем с того, что раскрываем правую часть уравнения.

Раскроем скобки:
[
(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
]

Подставим это в уравнение:
[
9x^2 + 6x + 1 = 4x^2 - 12x + 9
]

Переносим все члены в одну сторону уравнения:
[
9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 + 12x - 9 = 0
]
Упрощаем выражение:
[
(9x^2 - 4x^2) + (6x + 12x) + (1 - 9) = 0
]
[
5x^2 + 18x - 8 = 0
]

Теперь решим полученное квадратное уравнение ( 5x^2 + 18x - 8 = 0 ) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 5 ), ( b = 18 ), ( c = -8 ).

Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484
]

Найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-18 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 5}
]
[
x = \frac{-18 \pm 22}{10}
]

Получаем два корня:

Первый корень:
[
x_1 = \frac{-18 + 22}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
]

Второй корень:
[
x_2 = \frac{-18 - 22}{10} = \frac{-40}{10} = -4
]

Таким образом, уравнение ( 9x^2 + 6x + 1 = (2x - 3)^2 ) имеет два решения:
[
x = \frac{2}{5} \quad \text{и} \quad x = -4.
]