Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции KEFT с параллельными основаниями EF и KT, можно воспользоваться формулой для площади трапеции:

[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2},
]

где ( a ) и ( b ) — длины оснований, а ( h ) — высота трапеции.

В этой задаче:

( a = EF = 4 \, \text{см} )( b = KT ), которое мы пока не знаем.( KE = 6 \, \text{см} )

Для нахождения длины основания KT, так как трапеция равнобедренная, мы можем использовать угол E и треугольник KEF.

В треугольнике KEF угол E равен 120°. Следовательно, угол KEF будет равен ( 60° ) (угол при основании равнобедренного треугольника, как правило, острый).

Мы можем провести высоту h от точки E к основанию KT, которая перпендикулярна KT. Обозначим точку пересечения высоты с KT как P.

Мы знаем, что KE = 6 см и угол KEF = 60°, тогда, используя тригонометрию, можем найти высоту h:

[
h = KE \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{см}.
]

Теперь нам нужно найти KT. Поскольку KEFT — равнобедренная трапеция, мы можем использовать теорему о проекциях:Проекция KE на KT равна ( KE \cdot \cos(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \, \text{см} ).Так как симметрично строится, обе проекции KE и KF дадут равные значения. Таким образом, отрезок KP равен 3 см с обеих сторон от EF.Теперь мы можем выразить KT. Если длина EF составляет 4 см, и проекции KE и KF по 3 см с каждой стороны, то:

[
KT = EF + 2 \times 3 = 4 + 6 = 10 \, \text{см}.
]

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 10) \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 21\sqrt{3} \, \text{сантиметров квадратных}.
]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции KEFT составляет ( 21\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).