Для решения данной задачи используем пропорции и площади треугольников.

Обозначим:

( S_{ABC} = 21 ) - площадь треугольника ( ABC );( AK = 4x );( KC = x ).

Так как ( ZAK = 4KC ), точка ( K ) делит сторону ( AC ) в отношении ( 4:1 ).

Теперь найдем длины сегментов:
[
AC = AK + KC = 4x + x = 5x.
]

Теперь выразим площадь треугольника ( BKC ) через площадь треугольника ( ABC ):
Поскольку ( K ) делит сторону ( AC ) в отношении ( 4:1 ), это также делит треугольник ( ABC ) на два меньших треугольника: ( ABK ) и ( BKC ).

Площадь треугольника пропорциональна основанию, если высота одинаковая для двух треугольников.

[
\frac{S{BKC}}{S{ABC}} = \frac{KC}{AC} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}.
]

Следовательно, площадь треугольника ( BKC ) будет равна:
[
S{BKC} = \frac{1}{5} S{ABC} = \frac{1}{5} \cdot 21 = \frac{21}{5} = 4.2.
]

Таким образом, площадь треугольника ( BKC ) составляет ( 4.2 ).