Заполнение квадрата — это метод, позволяющий упростить выражение для дальнейшего анализа или интегрирования. В вашем случае мы хотим преобразовать квадратное выражение (x^2 + x + 2) в виде, который будет удобен для работы.

Для начала давайте заполним квадрат для (x^2 + x + 2):

Начнем с коэффициента перед (x). Мы имеем (x^2 + x), и нам нужно выделить полный квадрат. Для этого нужно взять коэффициент перед (x) (здесь это 1), разделить его на 2 (получаем (1/2)), и возвести в квадрат (получаем (1/4)).

Добавим и вычтем этот квадрат в выражение. Получаем:
[
x^2 + x + 2 = \left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) + 2 - \frac{1}{4}
]

Теперь упростим:
[
= \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}
]

Итак, мы получили:
[
x^2 + x + 2 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}
]

Теперь вы можете подставить это выражение в ваш интеграл:
[
\int \frac{3}{x^2 + x + 2} \, dx = \int \frac{3}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}} \, dx
]

Такое представление позволит использовать стандартные методы интегрирования, например, тригонометрическую подстановку или подстановку, основанную на arctan, так как меняться они будут легко при наличии выражения в виде полный квадрат.