Для решения неравенства (\cot\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right) < 1) сначала разберёмся с неравенством и его значениями.

Напомним, что (\cot \theta < 1) соответствует углу (\theta) в интервале (\left(\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{5\pi}{4} + k\pi\right)), где (k) — любое целое число.

Сначала найдём для нашего случая:
[
\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} \in \left(\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{5\pi}{4} + k\pi\right)
]
для любого целого (k).

Переносим (\frac{\pi}{6}):
[
\frac{\pi}{4} + k\pi + \frac{\pi}{6} < \frac{1}{2}x < \frac{5\pi}{4} + k\pi + \frac{\pi}{6}
]

Приведём к общему знаменателю:
[
\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 2\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}
]
[
\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{15\pi + 2\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}
]

Мы получаем:
[
\frac{5\pi}{12} + k\pi < \frac{1}{2}x < \frac{17\pi}{12} + k\pi
]

Умножим всё неравенство на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
\frac{10\pi}{12} + 2k\pi < x < \frac{34\pi}{12} + 2k\pi
]
или
[
\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{17\pi}{6} + 2k\pi
]

Таким образом, решение неравенства ( \cot\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right) < 1 ) будет:
[
x \in \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{17\pi}{6} + 2k\pi\right)
]
где (k \in \mathbb{Z}).