Для анализа функции ( y = \frac{2}{x-1} ) сначала определить ее свойства:

Область определения: Функция не определена при ( x = 1 ), так как в этой точке возникает деление на ноль. Область определения: ( x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) ).

Асимптоты:

Вертикальная асимптота: ( x = 1 ).Горизонтальная асимптота: когда ( x \to \pm \infty ), ( y \to 0 ). То есть есть горизонтальная асимптота ( y = 0 ).

Направление графика:

При ( x \rightarrow 1^- ), ( y \rightarrow -\infty ) (график уходит вниз).При ( x \rightarrow 1^+ ), ( y \rightarrow +\infty ) (график уходит вверх).Когда ( x ) уходит в бесконечность, ( y ) приближается к нулю.

Теперь постройте график функции. График будет выглядеть как две ветви гиперболы: одна ветвь в первой четверти (положительная, когда ( x > 1 )), другая в третьей четверти (отрицательная, когда ( x < 1 )).

Теперь, чтобы определить значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) не имеет общих точек с графиком функции ( y = \frac{2}{x-1} ), нужно проанализировать положения прямых относительно графика.

Если ( m < 0 ): Прямая ( y = m ) расположится ниже горизонтальной асимптоты ( y = 0 ). В этом случае прямая будет пересекаться с функцией, так как существует хотя бы одна точка, где ( y > m ).

Если ( m = 0 ): Прямая ( y = 0 ) будет равна горизонтальной асимптоте, и она не будет пересекать график функции.

Если ( m > 0 ): Прямая ( y = m ) будет выше функции в диапазоне ( x < 1 ), но при ( x > 1 ) функция может пересекать прямую. Таким образом, прямая пересечёт график функции в положительных значениях ( m ).

Итак, прямая ( y = m ) не будет иметь общих точек с графиком функции ( y = \frac{2}{x-1} ) только в случае, если:

[
m \leq 0
]

Ответ: Прямая ( y = m ) не имеет общих точек с графиком функции, если ( m \leq 0 ).