Чтобы доказать, что если серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (в центре описанной окружности), то эта точка равноудалена от вершин треугольника, давайте рассмотрим следующее:

Определение: Пусть треугольник ABC, а точки M, N и K – середины отрезков AB, BC и CA соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника – это линии, перпендикулярные к каждому из отрезков AB, BC и CA и проходящие через их середины.

Свойства серединных перпендикуляров: Основное свойство серединного перпендикуляра гласит, что любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. То есть, если P – точка на серединном перпендикуляре к стороне AB, то PA = PB.

Пересечение серединных перпендикуляров: Пусть точка O – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC. Поскольку O лежит на серединном перпендикуляре к AB, мы имеем:

[
OA = OB.
]

Аналогично, поскольку O также лежит на серединных перпендикулярах к BC и CA, мы имеем:

[
OB = OC,
]
[
OC = OA.
]

Равенство расстояний: Из этих уравнений следует, что:

[
OA = OB = OC.
]

Это означает, что точка O равноудалена от всех трех вершин A, B и C треугольника.

Вывод: Мы доказали, что если серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех трех вершин этого треугольника.

Таким образом, утверждение доказано.