Чтобы доказать, что Аня написала хотя бы одно простое число, начнем с анализа условий задачи.

Количество чисел и цифр: Аня написала 40 натуральных чисел, используя 57 цифр. Это значит, что в среднем на число приходится ( \frac{57}{40} = 1.425 ) цифр. Это значит, что большинство чисел имеют 1 или 2 цифры.

Числа с 1 и 3: Из 40 чисел 24 содержат цифру 1, а 25 — цифру 3. Вероятно, что некоторые числа могут содержать обе цифры.

Рассмотрим возможные числа:

Одноцифровые числа: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) (всего 9 чисел).Двузначные числа: от 10 до 99 (всего 90 чисел), но актуальны только те, которые могут использованы с учетом количества цифр.

Свойства простых чисел: Простыми числами из однозначных являются только ( 2, 3, 5, 7 ), а из двузначных (до 99) - такие как ( 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97).

Анализ чисел с цифрами 1 и 3:

Числа с цифрой 1: ( 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, ..., 21, 31, ...)Числа с цифрой 3: ( 3, 13, 23, 30, ..., 31, 32, 33, ...)

Из пунктов 3 и 4 видно, что среди чисел, содержащих цифры 1 или 3, как минимум несколько чисел могут быть простыми. Например, число ( 31 ) содержит как 1, так и 3, и является простым. Также ( 13 ) также является простым.

Вывод: Наличие более 40 чисел и высокое количество цифр создают значительную вероятность, что среди всего этого множества будут встречаться простые числа. Особенно учитывая, что числа, содержащие 1 и 3, точно встречаются.

В итоге, вероятно, что Аня написала хотя бы одно простое число. Это и требовалось доказать.