Решим каждую задачу по очереди.

Площадь осевого сечения конуса равна 30, а площадь его основания равна ( 25\pi ).

Сначала найдем радиус основания конуса (( R )):
[
\text{Площадь основания} = \pi R^2 \Rightarrow 25\pi = \pi R^2 \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5.
]

Площадь осевого сечения представляет собой треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса (( 2R = 10 )) и высота которого равна высоте конуса (( h )). Площадь треугольника можно выразить так:
[
\text{Площадь осевого сечения} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h.
]
Поскольку площадь осевого сечения равна 30:
[
\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 30 \Rightarrow 5h = 30 \Rightarrow h = 6.
]

Теперь можем найти объем конуса (( V )):
[
V = \frac{1}{3} \cdot \pi R^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25 \cdot 6 = \frac{150\pi}{3} = 50\pi.
]

Таким образом, объем конуса равен ( 50\pi ).

В куб вписан шар. Нужно найти объем шара, если объем куба равен 24.

Объем куба (( V{\text{куба}} )) равен:
[
V{\text{куба}} = a^3,
]
где ( a ) — длина ребра куба. Из условия:
[
a^3 = 24 \Rightarrow a = \sqrt[3]{24}.
]

Радиус вписанного шара (( r )) равен половине длины ребра куба:
[
r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt[3]{24}}{2}.
]

Объем шара (( V{\text{шара}} )) вычисляется по формуле:
[
V{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3.
]
Подставим значение ( r ):
[
r^3 = \left(\frac{\sqrt[3]{24}}{2}\right)^3 = \frac{24}{8} = 3.
]
Таким образом, объём шара:
[
V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3 = 4\pi.
]

Итак, объем шара равен ( 4\pi ).