Для нахождения наибольшего объема цилиндра, нам нужно выразить объем цилиндра ( V = \pi r^2 h ) через его радиус ( r ) и высоту ( h ), а также учесть ограничение по площади полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
[
S = 2\pi r^2 + 2\pi r h
]
Где:

( 2\pi r^2 ) — площадь двух оснований,( 2\pi rh ) — площадь боковой поверхности.

По условию ( S = 64\pi ), можем сократить обе стороны на ( \pi ):
[
2r^2 + 2rh = 64
]
Упростив, получаем:
[
r^2 + rh = 32
]
Теперь выразим высоту ( h ) через радиус ( r ):
[
h = \frac{32 - r^2}{r}
]

Подставим это выражение для ( h ) в формулу объема:
[
V = \pi r^2 h = \pi r^2 \left(\frac{32 - r^2}{r}\right) = \pi (32r - r^3)
]
Таким образом, объем можно записать как:
[
V = 32\pi r - \pi r^3
]

Теперь найдем производную объема по ( r ) и приравняем её к нулю, чтобы найти максимумы.
[
\frac{dV}{dr} = 32\pi - 3\pi r^2
]
Приравниваем производную к нулю:
[
32\pi - 3\pi r^2 = 0
]
[
32 - 3r^2 = 0
]
[
3r^2 = 32
]
[
r^2 = \frac{32}{3}
]
[
r = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3.27
]

Поскольку ( r ) must быть в пределах [2; 4], то значение ( r \approx 3.27 ) допустимо.

Теперь мы нашли значение радиуса, при котором объем цилиндра может быть максимальным. Подставим это значение в формулу для ( h ):
[
h = \frac{32 - \left(\frac{32}{3}\right)}{\sqrt{\frac{32}{3}}} = \frac{32 - \frac{32}{3}}{\sqrt{\frac{32}{3}}} = \frac{\frac{96}{3} - \frac{32}{3}}{\sqrt{\frac{32}{3}}} = \frac{\frac{64}{3}}{\sqrt{\frac{32}{3}}} = \frac{64}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{6}}{6} = \frac{8\sqrt{6}}{3}
]

Теперь подставим радиус и высоту обратно в формулу объема:
[
V = 32\pi r - \pi r^3 = 32\pi \sqrt{\frac{32}{3}} - \pi \left(\frac{32}{3}\right)^{3/2}
]
Это максимальный объем при данной площади полной поверхности и радиусе в пределах от 2 до 4.

Таким образом, максимальный объем цилиндра, площадь полной поверхности которого равна ( 64\pi ) см² и радиус находится в пределах [2; 4], равен
[
V \approx 32\pi \cdot 3.27 - \pi \cdot (3.27)^3 \approx 32\pi \cdot 3.27 - \pi \cdot 35.23.
]

Дополнительно, вы можете вычислить точно значения, если это нужно.