В данной задаче необходимо найти радиус окружности ( r ). Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно:

Обозначим:

( O ) — центр окружности,( A ) и ( B ) — точки, где касательная пересекает окружность и точка касания, соответственно,Радиус ( OA = r ),Длина отрезка ( OB = 4 ) см,Угол ( AOB = \beta ).

Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Поэтому угол ( OAB = 90^\circ ).

Рассмотрим треугольник ( OAB ). В этом треугольнике:

( OA ) — радиус окружности,( OB ) — расстояние от центра до точки ( B ) (длина отрезка) — ( OB = 4 ) см,Угол при вершине ( O ) равен ( \beta ).

В треугольнике ( OAB ) можно использовать теорему косинусов. Она выглядит следующим образом:
[
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\beta)
]
где ( AB ) является длиной касательной. Поскольку ( AB ) перпендикулярно ( OA ), ( \angle OAB = 90^\circ ), мы можем использовать замены для нахождения других величин.

Используя теорему Пифагора для треугольника ( OAB ):
[
AB^2 = OB^2 - OA^2
]
То есть:
[
AB^2 = 4^2 - r^2
]

Формула для длины касательной из точки до окружности, исходя из радиуса ( r ) и длины от центра окружности до касательной ( d ) (в данном случае равной ( 4 )):
[
AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - r^2} = \sqrt{16 - r^2}
]

Однако, если угол ( AOB = \beta ) равен 90°, то мы можем сказать, что огибание не требует использования угла. Тогда ( r = 4 \sin(\frac{\beta}{2}) ) и углы можно не учитывать.

Теперь мы имеем два уравнения, которые нужно решить.

Если нам известен угол ( AOB ), мы можем продеть различные вычисления.

Таким образом, решение зависит от значения угла ( \beta ) и может быть упрощено в зависимости от условий задачи.
Если ( \beta = 90^\circ ), тогда радиус ( r = 4 ) см.
Если же нам необходимо более сложное решение, то возможно оно потребует дополнительных данных для вычислений.