Чтобы решить неравенство

[
\frac{(x-2)(x+3)}{(x-8)} > 0,
]

сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: Решим уравнение ((x-2)(x+3) = 0):

(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2)(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3)

Нули знаменателя: Решим уравнение (x - 8 = 0):

(x = 8)

Итак, мы нашли три критические точки: (x = -3), (x = 2), и (x = 8).

Теперь расставим эти точки на числовой прямой и определим знаки функции на интервалах:

( (-\infty, -3) )( (-3, 2) )( (2, 8) )( (8, +\infty) )

Теперь проверим знаки на каждом интервале:

Интервал ((- \infty, -3)):
Выберем (x = -4):

[
\frac{(-4-2)(-4+3)}{-4-8} = \frac{(-6)(-1)}{-12} = \frac{6}{-12} < 0
]

Интервал ((-3, 2)):
Выберем (x = 0):

[
\frac{(0-2)(0+3)}{0-8} = \frac{(-2)(3)}{-8} = \frac{-6}{-8} > 0
]

Интервал ((2, 8)):
Выберем (x = 5):

[
\frac{(5-2)(5+3)}{5-8} = \frac{(3)(8)}{-3} = \frac{24}{-3} < 0
]

Интервал ((8, +\infty)):
Выберем (x = 9):

[
\frac{(9-2)(9+3)}{9-8} = \frac{(7)(12)}{1} = 84 > 0
]

Теперь соберем результаты:

На интервале ((- \infty, -3)) знак отрицательный.На интервале ((-3, 2)) знак положительный.На интервале ((2, 8)) знак отрицательный.На интервале ((8, +\infty)) знак положительный.

Теперь составим решение неравенства:

Неравенство выполняется на интервалах ((-3, 2)) и ((8, +\infty)).

Поскольку в точках (x = -3) и (x = 2) числитель равен нулю (а это значит, функция равна нулю), и в точке (x = 8) знаменатель равен нулю (функция не определена),

Ответ:

[
(-3, 2) \cup (8, +\infty)
]