Давайте рассмотрим множества ( A ) и ( B ):

Множество ( A ) — это множество квадратов натуральных чисел, то есть ( A = { n^2 \mid n \in \mathbb{N} } = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \ldots } ).Множество ( B ) — это множество кубов натуральных чисел, то есть ( B = { n^3 \mid n \in \mathbb{N} } = { 1, 8, 27, 64, 125, \ldots } ).

Теперь проверим, принадлежат ли данные числа пересечению и объединению множеств:

а) Пересечение множеств ( A ) и ( B )

Пересечение ( A \cap B ) содержит числа, которые являются и квадратами, и кубами. Это означает, что они должны быть шестыми степенями натуральных чисел, так как число ( n ) является и квадратом, и кубом, если оно представимо в виде ( n^6 ).

Число 1: Да, ( 1 = 1^2 ) и ( 1 = 1^3 ), следовательно, ( 1 \in A \cap B ).Число 4: ( 4 = 2^2 ) (это квадрат), но нет такого натурального числа ( n ), чтобы ( n^3 = 4 ). Значит, ( 4 \notin A \cap B ).Число 64: Да, ( 64 = 8^2 ) (это квадрат) и ( 64 = 4^3 ) (это куб), следовательно, ( 64 \in A \cap B ).

Итак, результат для части (а):

( 1 \in A \cap B )( 4 \notin A \cap B )( 64 \in A \cap B )б) Объединение множеств ( A ) и ( B )

Объединение ( A \cup B ) содержит все числа, которые являются либо квадратами, либо кубами.

Число 16: ( 16 = 4^2 ) (это квадрат), следовательно, ( 16 \in A \cup B ).Число 27: ( 27 = 3^3 ) (это куб), следовательно, ( 27 \in A \cup B ).Число 64: Как уже было установлено, ( 64 ) — это и квадрат ( 8^2 ), и куб ( 4^3 ), следовательно, ( 64 \in A \cup B ).

Итак, результат для части (б):

( 16 \in A \cup B )( 27 \in A \cup B )( 64 \in A \cup B )

Теперь итог:

(а) ( 1 ) и ( 64 ) принадлежат пересечению, ( 4 ) не принадлежит.(б) Все числа ( 16, 27, 64 ) принадлежат объединению.

Удачи с вашей учебой!