Давайте сократим дробь (\frac{a^5 \cdot 5a^4b^3}{2ab^2 \cdot 10b^5}).

Сначала упростим числитель и знаменатель:

Числитель:
[
a^5 \cdot 5a^4b^3 = 5a^{5+4}b^3 = 5a^9b^3
]

Знаменатель:
[
2ab^2 \cdot 10b^5 = 2 \cdot 10 \cdot ab^{2+5} = 20ab^7
]

Теперь у нас есть следующая дробь:
[
\frac{5a^9b^3}{20ab^7}
]

Сократим дробь:

Сократим (5) в числителе и знаменателе:
[
\frac{5}{20} = \frac{1}{4}
]

Сократим (a) (в числителе (a^9) и в знаменателе (a)):
[
\frac{a^9}{a} = a^{9-1} = a^8
]

Сократим (b^3) в числителе и (b^7) в знаменателе:
[
\frac{b^3}{b^7} = b^{3-7} = b^{-4} = \frac{1}{b^4}
]

Таким образом, сокращая всё это, получаем:
[
\frac{1 \cdot a^8}{4 \cdot 1 \cdot b^4} = \frac{a^8}{4b^4}
]

Итак, окончательный ответ:
[
\frac{a^8}{4b^4}
]