Давайте сначала переведем все времена в секунды:

Холодная вода заполняет ванну за 6 минут 40 секунд:

6 минут = 6 × 60 = 360 секундИтак, холодная вода заполняет ванну за 360 + 40 = 400 секунд.

Горячая вода заполняет ванну за 8 минут:

8 минут = 8 × 60 = 480 секунд.

Вода из ванны вытечет за 13 минут 20 секунд:

13 минут = 13 × 60 = 780 секундИтак, вода вытечет за 780 + 20 = 800 секунд.

Теперь найдем скорости заполнения и слива:

Скорость заполнения холодной воды: ( \frac{1}{400} ) ванны в секунду.Скорость заполнения горячей воды: ( \frac{1}{480} ) ванны в секунду.Скорость слива воды: ( \frac{1}{800} ) ванны в секунду.

Теперь решим задачи.

1. Время, чтобы в ванне было 3/4 горячей воды и 1/4 холодной воды.

Пусть объем ванны равен 1 (единица измерения - полная ванна).

Теперь рассчитаем, сколько необходимо заполнить:

3/4 горячей воды: ( \frac{3}{4} )1/4 холодной воды: ( \frac{1}{4} )

Используем их скорости, чтобы определить, сколько времени нужно:

Обозначим время, необходимое для заполнения ванных водой, как ( t ).

Во время ( t ):

Объем горячей воды: ( \frac{t}{480} )Объем холодной воды: ( \frac{t}{400} )

Мы знаем, что:

[
\frac{t}{480} = \frac{3}{4}
]
[
\frac{t}{400} = \frac{1}{4}
]

Теперь решим первое уравнение:

[
t = \frac{3}{4} \cdot 480 = 360 \text{ секунд}
]

Теперь проверим второе уравнение:

[
t = \frac{1}{4} \cdot 400 = 100 \text{ секунд}
]

То есть время, в течение которого нужно заполнять, будет захватывать объемы, в которых мы будем использовать обе воды, для этого находим 1/4 при 3/4 (то есть 360 и 100) и получим 360 расчитав через горячую.

Таким образом, требуется 360 секунд, чтобы заполнить ванну до нужного значения (время зависит от большего, как это нужно помнить).

2. Время, чтобы заполнить ванну, открыв одновременно оба крана.

Общая скорость заполнения:

[
\text{Общая скорость} = \frac{1}{400} + \frac{1}{480} - \frac{1}{800}
]

Сначала найдем общий наименьший общий кратник, это будет 2400.

Теперь пересчитаем скорости:

Для холодной воды: ( \frac{2400}{400} = 6 )Для горячей воды: ( \frac{2400}{480} = 5 )Для вытекания: ( \frac{2400}{800} = 3 )

Теперь подставляем:

[
\frac{6 + 5 - 3}{2400} = \frac{8}{2400} = \frac{1}{300}
]

Теперь найдем нужное время для заполнения всей ванны:

[
t = 300 \text{ секунд}
]

Таким образом:

Чтобы в ванне было 3/4 горячей и 1/4 холодной воды, необходимо 360 секунд.Чтобы заполнить ванну, открыв оба крана, потребуется 300 секунд.