Утверждение, что если последовательность сходится по абсолютной величине к пределу ( L ), то она обязательно монотонна, является ложным.

Рассмотрим последовательность ( a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} ). Эта последовательность по абсолютной величине сходится к 0:

[
|a_n| = \left| (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.
]

Однако сама последовательность ( a_n ) не является монотонной, так как она колеблется между положительными и отрицательными значениями:

Для четных ( n ) ( a_n > 0 ),Для нечетных ( n ) ( a_n < 0 ).

Таким образом, последовательность не монотонна, хотя по абсолютной величине сходится к пределу 0.

Следовательно, исходное утверждение опровергнуто.