Для визуализации сходимости итераций при решении нелинейных уравнений можно провести эксперимент, используя метод Ньютона или метод бисекции. В этом примере мы сосредоточимся на методе Ньютона.

Эксперимент

1. Выбор уравнения: Рассмотрим нелинейное уравнение, например, ( f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0 ).

2. Определение производной: Вычислим производную функции ( f(x) ):
[ f'(x) = 3x^2 - 2. ]

3. Инициализация: Выберем начальное значение ( x_0 = 2 ).

4. Итерационная формула: Используем формулу метода Ньютона:
[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. ]

5. Итерации: Выполним несколько итераций метода и запишем полученные значения ( x_n ).

6. Визуализация: Построим график функции ( f(x) ) и отметим на нем точки ( (x_n, 0) ) для каждой итерации. Также можно построить секущие линии, которые помогают визуализировать, как идут итерации.

Код для визуализации (Python с использованием Matplotlib и NumPy)import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Определим функцию и её производную
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
def df(x):
return 3*x**2 - 2
# Метод Ньютона
def newton_method(x0, tol=1e-7, max_iter=100):
x_n = x0
iterations = [x_n]
for n in range(max_iter):
x_n1 = x_n - f(x_n) / df(x_n)
iterations.append(x_n1)
if abs(x_n1 - x_n) < tol:
break
x_n = x_n1
return iterations
# Выполним метод Ньютона
initial_guess = 2
iterations = newton_method(initial_guess)
# Создадим график
x = np.linspace(1, 3, 400)
y = f(x)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x) = x^3 - 2x - 5')
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5, ls='--')
# Отметим итерации
for i in range(len(iterations)):
plt.plot(iterations[i], f(iterations[i]), 'ro') # точки итераций
if i < len(iterations) - 1:
plt.plot([iterations[i], iterations[i + 1]], [0, 0], 'r--') # линии связки
plt.title('Метод Ньютона: Визуализация сходимости итераций')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()Интерпретация результатов

Сходимость: На графике видно, что итерации стремятся к корню уравнения, где ( f(x) = 0 ). Каждая новая итерация приближает нас к значению корня, что иллюстрируется сокращением расстояний между consecutive points.

Скорость сходимости: Метод Ньютона демонстрирует квадратичную сходимость, то есть, чем ближе мы находимся к корню, тем быстрее сходимся. Это можно заметить по тому, как быстро точки становятся ближе друг к другу после первых нескольких итераций.

Линии секущих: Красные пунктирные линии между последовательными итерациями показывают, как применяется метод Ньютона для нахождения корня - каждая следующая точка является пересечением предыдущей секущей линии с осью x.

В итоге, данный эксперимент помогает продемонстрировать, как работают численные методы решения нелинейных уравнений и их эффективность в сходимости к истинным корням.