Уравнение ( x^2 - 5y^2 = 1 ) является уравнением Pell'a. Для нахождения всех целых решений данного уравнения мы можем воспользоваться известным методом, связанным с последовательностью чисел, которая называется последовательностью решений уравнения Pell'a.

Шаги для нахождения решений

Нахождение фундаментального решения:
Первым делом нужно найти фундаментальное (наименьшее) решение уравнения. Для уравнения ( x^2 - 5y^2 = 1 ) оно равно ( (x_1, y_1) = (9, 4) ), так как ( 9^2 - 5 \cdot 4^2 = 81 - 80 = 1 ).

Генерация новых решений:
Для генерации новых решений из известного фундаментального решения ( (x_n, yn) ) используем следующую формулу:
[
x{n+1} = x_1 x_n + 5 y_1 yn
]
[
y{n+1} = x_1 y_n + y_1 x_n
]
где ( (x_1, y_1) ) — фундаментальное решение.

Итерация:
Итеративно применяя эти формулы, мы можем получить все целые решения уравнения:

Для ( n = 1 ):
[
x_2 = 9 \cdot 9 + 5 \cdot 4 \cdot 4 = 81 + 80 = 161
]
[
y_2 = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 9 = 36 + 36 = 72
]
Получили следующее решение ( (161, 72) ).

Продолжая этот процесс, можно найти множество других решений.

Бесконечное количество решений

Существует теорема, согласно которой, если уравнение Pell'a имеет хотя бы одно целое решение, то оно имеет бесконечно много целых решений. Это происходит из-за того, что каждое следующее решение генерируется из предыдущего с использованием фиксированных множителей, что обеспечивает непрерывное создание новых решений.

Решения в обоих знаках

Все найденные решения также можно брать с отрицательными значениями:
[
(x, y) \rightarrow (x, y), (-x, y), (x, -y), (-x, -y)
]
Это значит, что если мы нашли одно положительное решение, то можем получить четыре решения, включая отрицательные, что еще раз подтверждает бесконечность решений.

Таким образом, все целые решения уравнения ( x^2 - 5y^2 = 1 ) можно получить с помощью указанного метода из первого найденного решения, указывая на бесконечное количество целых пар ((x, y)), которые удовлетворяют данному уравнению.