Сходимость последовательностей случайных величин — это важная тема в теории вероятностей и математической статистике. Существует несколько типов сходимости, среди которых важные — это сходимость по среднему (или в среднем, по среднему квадрату) и почти всюду. Давайте подробно рассмотрим различия между ними.

Сходимость по среднему (в среднем)

Последовательность случайных величин ( X_n ) сходится к случайной величине ( X ) в среднем (или по среднему), если:

[
\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[|X_n - X|] = 0,
]

где ( \mathbb{E} ) — математическое ожидание.

Пример сходимости в среднем: Предположим, что ( X_n ) — это последовательность независимых и идентично распределённых нормально распределённых случайных величин с математическим ожиданием 0 и дисперсией ( \frac{1}{n} ), то есть ( X_n \sim N(0, \frac{1}{n}) ). В этом случае можно показать, что:

[
\mathbb{E}[|X_n - 0|] \to 0 \text{ при } n \to \infty,
]

что означает сходимость ( X_n ) в среднем к 0.

Сходимость почти всюду

Последовательность случайных величин ( X_n ) сходится почти всюду к случайной величине ( X ), если

[
P\left(\lim_{n \to \infty} X_n = X\right) = 1.
]

Здесь ( P ) — вероятность. Это означает, что для почти всех исходов (в терминах меры, это большинство) последовательность ( X_n ) будет сходиться к ( X ).

Пример почти везде: Предположим, что ( X_n = \frac{1}{n} ) с вероятностью 1 для всех ( n ). Тогда ( X_n ) сходится почти всюду к 0 (поскольку для всех ( n ) это равномерная конвергенция к 0).

Важные различия

Степень сходимости: Сходимость в среднем более строгая, чем почти везде, поскольку она требует, чтобы математическое ожидание расхождения сходило к нулю, в то время как почти везде сходимость требует, чтобы только для большинства исходов выполнялось условие сходимости.

Понятия меры: Сходимость в среднем рассматривает меры вероятностей (как бы средней величины), в то время как почти везде сходимость оперирует с мерой, определяемой вероятностью исходов.

Примеры: Последовательность, которая сходится почти всюду, не обязательно будет сходиться в среднем. Например, если ( X_n ) — это случайные величины с дисперсией, которая не уменьшается до нуля, это может привести к отсутствию сходимости в среднем, даже если существует сходимость почти всюду.

Эти различия подчеркивают важность понимания, какие свойства имеющие разнообразные типы сходимостей случайных величин имеют в теориях вероятностей и статистики.