Рассмотрим многочленные ряды вида (\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x)), где (a_n(x)) — это функции, зависящие от переменной (x).

Критерии равномерной сходимости

Критерий Вейерштрасса: Если существует последовательность (M_n) таких, что (|a_n(x)| \leq Mn) для всех (x) в заданном отрезке и (\sum{n=0}^{\infty} Mn) сходится, то ряд (\sum{n=0}^{\infty} a_n(x)) равномерно сходится на этом отрезке.

Критерий Коши: Ряд (\sum_{n=0}^{\infty} an(x)) равномерно сходится на отрезке (I), если для любого (\epsilon > 0) существует натуральное число (N) такое, что для всех (m > n \geq N) выполняется:
[
\sup{x \in I} \left| \sum_{k=n}^{m} a_k(x) \right| < \epsilon.
]

Теорема Абеля: Если ряд (\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x)) сходится для каждого (x) в отрезке, и функции (a_n(x)) непрерывны на (I), а (a_n(x)) равномерно ограничены, то ряд равномерно сходится.

Примеры нарушения равномерности

Пример с функцией (f_n(x) = \frac{x^n}{n}) на отрезке ([0, 1]):

Рассмотрим ряд (\sum_{n=1}^{\infty} fn(x) = \sum{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}) для (x < 1). Этот ряд равномерно сходится на ([0, 1 - \epsilon]) для любого (\epsilon > 0), но при (x = 1) ряд становится (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}), который расходится. Таким образом, сходимость не равномерна на ([0, 1]).

Пример с тригонометрическими функциями:

Рассмотрим ряд (\sum_{n=1}^{\infty} \sin(nx)) на интервале ([- \pi, \pi]). Хотя для каждой фиксированной (x) этот ряд может сходиться, на отрезке ([- \pi, \pi]) он не сохраняет равномерной сходимости, так как получение равномерной сходимости требует оценки скачков, которые не ограничены.

Эти примеры показывают, что даже если ряд сходится для каждой точки в отрезке, он может не сходиться равномерно.