Чтобы разобрать доказательство того факта, что произведение непрерывных функций является непрерывной функцией, начнем с формулировки теоремы.

Теорема: Если функции ( f ) и ( g ) непрерывны в точке ( a ), то их произведение ( f(x)g(x) ) также непрерывно в точке ( a ).

Доказательство:
По определению непрерывности функции, функция ( f ) непрерывна в точке ( a ) означает, что для любого ( \epsilon > 0 ) существует ( \delta_1 > 0 ) такое, что для всех ( x ) в области определения функции, если ( |x - a| < \delta_1 ), то ( |f(x) - f(a)| < \epsilon/2 ).

Аналогично, ( g ) непрерывна в точке ( a ) означает, что существует ( \delta_2 > 0 ) такой, что если ( |x - a| < \delta_2 ), то ( |g(x) - g(a)| < \epsilon/(\max(|f(a)|, 1) + 1) ).

Теперь пусть ( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) ). Тогда для всех ( x ) таких, что ( |x - a| < \delta ), у нас есть:

( |f(x) - f(a)| < \epsilon/2 )( |g(x) - g(a)| < \epsilon/(\max(|f(a)|, 1) + 1) )

Теперь мы можем вычислить ( |f(x)g(x) - f(a)g(a)| ).

Используя формулу для разности произведений, мы получаем:

[
|f(x)g(x) - f(a)g(a)| = |f(x)g(x) - f(x)g(a) + f(x)g(a) - f(a)g(a)| \
\leq |f(x)||g(x) - g(a)| + |g(a)||f(x) - f(a)|
]

Из этого неравенства можно оценить каждую из частей. Используя оценки из непрерывности ( f ) и ( g ), мы можем заключить, что ( |f(x)| ) и ( |g(a)| ) конечны, и в итоге получим, что ( |f(x)g(x) - f(a)g(a)| < \epsilon ) при ( |x - a| < \delta ). Это и показывает, что произведение ( f(x)g(x) ) непрерывно в точке ( a ).

Ситуация с бесконечностью: Если одна из функций, скажем, ( f(x) ), стремится к бесконечности в некоторой точке ( a ), а другая функция ( g(x) ) непрерывна в этой точке, тогда произведение ( f(x)g(x) ) может не быть непрерывным (или вовсе не определено) в точке ( a ).

В частности, если ( g(a) \neq 0 ) и ( f(x) \to \infty ), то ( f(x)g(x) \to \infty ), и неравенство не выполняется. Если же ( g(a) = 0 ), то ( f(x)g(x) ) может быть более сложным, в том числе может принимать значения, стремящиеся к ( 0 ), ( \infty ) или не определенным. Например, если ( f(x) \to \infty ) и ( g(x) \to 0 ) в точке ( a ), то в зависимости от скорости, с которой они стремятся к этим значениям, предел ( f(x)g(x) ) может существовать или не существовать.

Таким образом, в общем случае, если одна из функций стремится к бесконечности, информация о поведении произведения в точке разрыва требует дополнительного анализа для конкретных функций и их пределов.