Утверждение, что любые собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, является верным. Давайте это докажем.

Пусть ( A ) — симметрическая матрица, а ( \mathbf{v_1} ) и ( \mathbf{v_2} ) — собственные векторы, соответствующие собственным значениям ( \lambda_1 ) и ( \lambda_2 ) соответственно. Предположим, что ( \lambda_1 \neq \lambda_2 ).

Собственные векторы определяются следующим образом:

[
A \mathbf{v_1} = \lambda_1 \mathbf{v_1},
]
[
A \mathbf{v_2} = \lambda_2 \mathbf{v_2}.
]

Теперь рассмотрим скалярное произведение ( \langle A \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle ):

[
\langle A \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle = \langle \lambda_1 \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle = \lambda_1 \langle \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle.
]

С учетом того, что ( A ) симметрична, мы также можем записать это скалярное произведение с использованием симметричности:

[
\langle A \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle = \langle \mathbf{v_2}, A \mathbf{v_1} \rangle = \langle \mathbf{v_2}, \lambda_1 \mathbf{v_1} \rangle = \lambda_1 \langle \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle.
]

С другой стороны, используя определение для ( A \mathbf{v_2} ):

[
\langle A \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle = \langle \lambda_2 \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle = \lambda_2 \langle \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle.
]

Таким образом, у нас есть два выражения для ( \langle A \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle ):

[
\lambda_1 \langle \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle = \lambda_2 \langle \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle.
]

Так как ( \langle \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle = \langle \mathbf{v_2}, \mathbf{v_1} \rangle ), можно записать:

[
\lambda_1 \langle \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle = \lambda_2 \langle \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle.
]

Теперь, поскольку ( \lambda_1 \neq \lambda_2 ), это равенство может выполняться только в том случае, если ( \langle \mathbf{v_1}, \mathbf{v_2} \rangle = 0 ). Таким образом, собственные векторы ( \mathbf{v_1} ) и ( \mathbf{v_2} ) ортогональны.

Следовательно, любой собственный вектор симметрической матрицы, соответствующий одному собственному значению, ортогонален любому собственному вектору, соответствующему другому собственному значению. Утверждение верно.