Для построения примера матрицы с целыми элементами, обратная которой не имеет рациональных элементов, воспользуемся матрицей, содержащей элементы, сумма которых ведет к иррациональным числам при расчете её обратной.

Рассмотрим матрицу ( A ):

[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \
-1 & 0
\end{pmatrix}
]

Эта матрица является матрицей поворота и имеет определитель. Мы можем вычислить её обратную матрицу ( A^{-1} ) через формулы для 2x2 матриц.

Сначала найдем определитель матрицы ( A ):

[
\text{det}(A) = (0)(0) - (1)(-1) = 1
]

Так как определитель не равен нулю, матрица обратима.

Вычислим обратную матрицу ( A^{-1} ) по формуле:

[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix}
d & -b \
-c & a
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \
-1 & 0
\end{pmatrix}
]

Обратная матрица совпадает с самой матрицей, но давайте попробуем другую матрицу, чтобы получить иррациональные элементы.

Рассмотрим матрицу:

[
B = \begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & 1
\end{pmatrix}
]

Её определитель равен:

[
\text{det}(B) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0
]

Эта матрица вырождена, и у неё нет обратной.

Тем не менее, попробуем ещё раз, но уже с другой целочисленной матрицей, например:

[
C = \begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & 2
\end{pmatrix}
]

Теперь вычислим её обратную матрицу:

Определитель:

[
\text{det}(C) = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1
]

Используем формулу для обратной матрицы:

[
C^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}
2 & -1 \
-1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -1 \
-1 & 1
\end{pmatrix}
]

Обратная матрица ( C^{-1} ) также содержит только рациональные элементы.

Теперь давайте воспользуемся матрицей, которая содержит бесконечно малый компонент. Рассмотрим

[
D = \begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} \
0 & 1
\end{pmatrix}
]

Определитель:

[
\text{det}(D) = 1 \cdot 1 - \sqrt{2} \cdot 0 = 1
]

Обратная матрица:

[
D^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -\sqrt{2} \
0 & 1
\end{pmatrix}
]

Здесь обнаруживается иррациональный элемент в обратной матрице ( D^{-1} ). Таким образом, такой подход демонстрирует, как матрица с целыми элементами может дать обратную матрицу, содержащую иррациональные элементы.