Восстановление функции по её производной и значению в одной точке в условиях наличия шума измерений представляет собой задачу, связанную с восстановлением сигналов и обработкой данных. Вот несколько подходов, которые могут оказаться полезными:

Интерполяция и сглаживание:

Используйте методы интерполяции (например, полиномиальную или сплайн-интерполяцию) для построения функции, основываясь на значениях производной и известной точке.Примените сглаживание к данным, чтобы уменьшить влияние шума, например, методом скользящего среднего или фильтром Калмана.

Рекуррентные методы:

Можно использовать численные методы для интеграции производной с учетом начального значения: например, метод Эйлера или более сложные методы, такие как метод Рунге-Кутты.При этом важно учитывать шум и использовать методы, которые минимизируют его влияние (например, адаптивные шаги интегрирования).

Оптимизация с регуляризацией:

Постройте функционал, который включает в себя значения производной, вознаграждая модели за близость к данным и за гладкость (например, через регуляризацию Тихонова).Минимизируйте этот функционал с помощью подходящих численных методов.

Фильтрация состояния:

Используйте фильтры, такие как фильтр Калмана, который позволяет сосчитать как наблюдения, так и значения производных, корректируя оценки в условиях шума.Этот подход хорошо работает, если у вас есть модель динамики системы.

Методы машинного обучения:

Обучите нейронные сети, которые могут выступать в роли функцией, учитывающей производную и начальное значение. Такие подходы могут быть устойчивыми к шуму, если сеть хорошо обучена.Примените методы переноса обучения к моделям, которые уже изучены на чистых данных.

Адаптивные методы:

Разработайте адаптивные алгоритмы, которые могут изменять параметры в зависимости от уровня шума в данных. Это может быть особенно полезно, если природа шума известна.

Системы уравнений:

Если известен функциональный вид производной (например, в виде дифференциального уравнения), попробуйте решить его численно с начальными условиями, учитывая значение в известной точке.

Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, и выбор наилучшего подхода будет зависеть от природы данных, уровня шума и требований к точности восстановленной функции.