Комплексный интеграл вдоль замкнутого контура — это интеграл функции комплексного переменного, вычисляемый вдоль определённого контура в комплексной плоскости. Если ( C ) — это замкнутый контур, а ( f(z) ) — аналитическая функция в некоторой области, содержащей контур ( C ) и его внутренность, то значение интеграла можно интерпретировать как меру "объёма" функции ( f(z) ) вдоль этого контура.

Интерпретация комплексного интеграла

Комплексный интеграл вдоль замкнутого контура ( C ) определяется как:
[
\oint_C f(z) \, dz
]
где ( z ) — точка на контуре ( C ). Если функция ( f(z) ) аналитическая (то есть непрерывна и имеет производную во всех точках) внутри области, содержащей ( C ), то по теореме Коши мы можем сказать следующее:

Если ( f(z) ) аналитическая в области, в которой находится контур, то интеграл вдоль этого контура равен нулю:
[
\oint_C f(z) \, dz = 0
]
Это утверждение можно трактовать как то, что вклад функции ( f(z) ) в замкнутых траекториях "нейтрализуется" и не имеет "суммарного эффекта".Пример использования теоремы Коши

Рассмотрим функцию ( f(z) = \frac{1}{z} ), которая имеет полюс (особость) в точке ( z=0 ). Рассмотрим контур ( C ), который представляет собой окружность радиуса ( r ) и центрирующуюся в начале координат (то есть ( C: |z|=r )).

Поскольку ( f(z) ) не является аналитической в точке ( z=0 ), мы можем использовать формулу Коши для вычисления интеграла по контуру:
[
\oint_C f(z) \, dz = 2 \pi i \, \text{(порядок полюса)}
]
В данном случае порядок полюса равен 1, поэтому:
[
\oint_C \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i
]

Таким образом, выполнив интегрирование, мы получаем, что интеграл функции ( \frac{1}{z} ) вдоль замкнутого контура, окружённого полюсом в начале координат, равен ( 2\pi i ).