Слабая сходимость последовательности мер — это важное понятие в теории вероятностей, анализе и математической статистике. Сложность слабой сходимости заключается в том, что это связано с пределами распределений, а не сами по себе с пределами случайных величин.

Основные условия слабой сходимости

Слабая сходимость: Последовательность мер ( \mun ) слабо сходится к мере ( \mu ), если для всякой ограниченной непрерывной функции ( f ) выполняется:
[
\lim{n \to \infty} \int f \, d\mu_n = \int f \, d\mu.
]
Это определение можно обобщить на более сложные классы функций.

Компактность: В результате теоремы Prokhorov можно сказать, что последовательность вероятностных мер ( \mu_n ) слабо предкомпактна, если они имеют равномерно ограниченные моменты. Это значит, что для любого ( \epsilon > 0 ) существует ( \delta > 0 ) такое, что для любого ( n ) и ( m ):
[
|\mu_n(A) - \mu_m(A)| < \epsilon
]
для всех ограниченных подмножеств ( A ) пространства.

Гладкость мер: Если последовательность ( \mu_n ) имеет одну и ту же границу ( \mu ) и согласована с неким функцией распределения (например, радиусом конвергенции), это также способствует их слабой сходимости.

Критерии тестирования

Критерий Ульянова (рейнга) для слабой сходимости: Если для всех ограниченных непрерывных функций ( f ) последовательности ( \int f d\mu_n ) сходится к ( \int f d\mu ), то последовательность мер слабо сходится к ( \mu ).

Теорема о слабой компактности (Теорема Prokhorov): Последовательность мер слабо сходится, если она относительно компактна, а значит, «не уходит в бесконечность» в каком-либо смысле.

Критерии сходимости через функцию распределения: Если функции распределения ряда мер ( F_n(x) ) сходят к функции распределения ( F(x) ) через точечное сходимость, то это также свидетельствует о слабой сходимости.

Критерий Лебега: Если меры ( \mu_n ) и ( \mu ) имеют сходимые моменты и меры не расходятся, это дает достаточно оснований для сходимости по правилам Лебега.

Практическое применение

Слабая сходимость используется в различных областях, включая статистику (например, для доказательства центральной предельной теоремы), в стохастических процессах и в математическом анализе, чтобы формализовать понятия предельного поведения различных распределений.

Для понимания и изучения слабой сходимости важно проводить как теоретический анализ, так и практические проверки с помощью разнообразных критериев и теорем.