Интегральные оценки — это мощный инструмент в математическом анализе, но их применение может привести к неверным выводам, если верхняя грань (или нижняя грань) функции, которую мы оцениваем, выбрана неправильно. Рассмотрим простой пример.

Допустим, мы хотим оценить интеграл функции ( f(x) = x^2 ) на отрезке ( [0, 1] ) следующим образом:

[
\int_0^1 x^2 \, dx.
]

Вычислим его точно:

[
\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.
]

Теперь применим интегральную оценку, чтобы оценить этот интеграл. Для этого воспользуемся неким предположением — пусть для ( x \in [0, 1] ) функция ( f(x) ) можно оценить верхней гранью.

Рассмотрим, например, верхнюю грань ( M = 2 ). Мы знаем, что ( f(x) ) не превосходит ( 1 ) на заданном отрезке, но ошибочно установим верхнюю грань как ( M = 2 ), тогда:

[
\int_0^1 f(x) \, dx \leq \int_0^1 2 \, dx = 2.
]

Такое неосторожное применение оценки приводит к абсурдному выводу, так как точное значение интеграла равно (\frac{1}{3}). Мы неправильно оценили верхнюю грань.

На более общем уровне, использование неправильных оценок может значительно исказить результаты. Например, если интегрируемая функция имеет неточные или завышенные оценки, это может увеличить значение интеграла до значений, которые не отражают действительности.

Необходимость тщательной оценки верхних и нижних границ и понимание свойств интегрируемой функции — центральные моменты для тщательной работы с интегральными оценками.