Условие непрерывности в теореме о среднем значении интеграла (также известной как теорема средних значений для интегралов) играет ключевую роль, так как оно гарантирует существование точки, в которой значение интеграло определяется соотношением, заданным теоремой.

В общем случае, если функция ( f ) непрерывна на замкнутом интервале ([a, b]), то существует как минимум одна точка ( c \in (a, b) ), такая что:

[
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx.
]

Это означает, что значение функции в некой точке интервала будет равно среднему значению функции на этом интервале.

Если функция ( f ) не является непрерывной, то теорема может не выполняться — может не существовать точки ( c ), для которой данное равенство справедливо. Например, в случае разрывных функций, может случиться, что интеграл на интервале существует, но среднее значение в каком-то моменте не будет достигнуто из-за разрывов. Таким образом, условие непрерывности важно для обеспечения валидности вывода теоремы.