При аппроксимации функции полиномом на отрезке важно оценить погрешность, чтобы понять, насколько хорошо полином приближает исходную функцию. Существует несколько методов оценки погрешности, каждый из которых имеет свои особенности и применимость.

Методы оценки погрешности:

Максимальная абсолютная ошибка:
[
E{\infty} = \max{x \in [a, b]} |f(x) - P_n(x)|
]
где ( f(x) ) — исходная функция, а ( P_n(x) ) — полином степени ( n ). Этот метод позволяет оценить максимальное отклонение полинома от функции на заданном отрезке.

Среднеквадратичная ошибка:
[
E_2 = \sqrt{\frac{1}{b - a} \int_a^b |f(x) - P_n(x)|^2 dx}
]
Этот метод измеряет среднюю ошибку за счет квадратичной интеграции и позволяет получить более сглаженную характеристику погрешности.

Сумма абсолютных ошибок:
[
E_1 = \int_a^b |f(x) - P_n(x)| dx
]
Этот подход дает общую интегральную ошибку, показывающую, насколько сильно полином отклоняется от функции в целом на отрезке.

Оценка по производной (Теорема о погрешности Тейлора):
Если функция ( f(x) ) имеет производные вплоть до ( n+1 )-го порядка, то ошибку можно оценить по формуле Тейлора с остаточным членом.

Критерий оптимальности:

Для выбора полинома, который является наилучшим приближением, часто используют критерий минимизации погрешности. На практике наиболее распространены следующие подходы:

Минимизация максимальной погрешности (метод Минимальной Верификации): подразумевает минимизацию максимальной абсолютной ошибки ( E_{\infty} ) на отрезке, что является очень строгим подходом и часто применяется при важности контроля наихудшего случая.

Минимизация среднеквадратичной ошибки (метод наименьших квадратов): оптимизация с учетом среднеквадратичной ошибки ( E_2 ) является распространенным критерием, особенно в статистике и регрессионном анализе. Этот метод позволяет снижать общую ошибку, но может быть более чувствителен к выбросам в данных.

Минимизация суммы абсолютных ошибок (L1-метрика): позволяет оценить полином таким образом, чтобы уменьшить интегральное отклонение, что дает более устойчивый результат при наличии шумов и выбросов.

Выбор критерия:

Выбор критерия оптимальности зависит от конкретной задачи и её требований. Если важен контроль максимального отклонения, стоит выбрать метод максимальной абсолютной погрешности. Для статистической обработки данных или работы с шумными сигналами может быть разумнее использовать метод наименьших квадратов. При этом важно учитывать специфику используемой функции и назначение аппроксимации.