Число (0.999...) (где девятки продолжаются бесконечно) равно (1). Вот несколько различных способов, чтобы это показать:

Доказательство 1: Алгебраическое

Обозначим (x = 0.999...).

Тогда, если мы умножим обе стороны на (10):

[
10x = 9.999...
]

Теперь мы вычтем из этого уравнения исходное (x):

[
10x - x = 9.999... - 0.999...
]

Это дает:

[
9x = 9
]

Теперь делим обе стороны на (9):

[
x = 1
]

Таким образом, (0.999... = 1).

Доказательство 2: Применение геометрической прогрессии

Число (0.999...) можно представить в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:

[
0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \ldots
]

Это геометрическая прогрессия с первым членом (a = 0.9) и знаменателем (r = 0.1). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

[
S = \frac{a}{1 - r}
]

Подставляем наши значения:

[
S = \frac{0.9}{1 - 0.1} = \frac{0.9}{0.9} = 1
]

Таким образом, (0.999... = 1).

Доказательство 3: Энное приближение

Рассмотрим, как (0.999...) можно выразить в виде предела. Если мы возьмем последние приближения:

(0.9)(0.99)(0.999)

Каждое из этих приближений стремится к (1), когда количество девяти увеличивается. Формально:

[
\lim{n \to \infty} 0.\underbrace{99\ldots9}{n \text{ девяток}} = 1
]

Следовательно, (0.999... = 1).

Возможные возражения

Некоторые могут возразить, что (0.999...) и (1) — это разные числа, потому что между ними нет других чисел. Это заблуждение основано на неверном восприятии понятия бесконечности. В математике незаметные значения могут не существовать в рамках определенного диапазона. Понятие прилипания к (1) рассматривается через пределы и эквивалентность, что показывает, что действительно разницы нет.

Кроме того, некоторые могут считать, что если мы вычтем (0.999...) из (1), мы должны получить какую-то положительную разницу:

[
1 - 0.999... = 0.000...
]

Но (0.000...) — это не число, а просто ноль. Таким образом, как бы мы ни рассматривали это, мы получаем одну и ту же единицу.

В конце концов, важно понимать, что в стандартной математике (0.999...), (1) и другие значения с огромными количество девяток являются эквивалентными в рамках реальных чисел.