Для доказательства утверждения о сходимости бесконечной суммы положительных членов, начнем с определения. Пусть у нас есть бесконечная сумма вида ( S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n ), где все ( a_n > 0 ).

Доказательство:

Нехватка сходимости → ограниченность частичных сумм:

Пусть сумма ( S ) расходится. Это означает, что частичные суммы ( SN = \sum{n=1}^{N} a_n ) не имеют предела и стремятся к бесконечности при ( N \to \infty ). То есть существует такая последовательность ( Nk \to \infty ), что ( S{N_k} \to \infty ). Следовательно, частичные суммы не ограничены сверху.

Ограниченность частичных сумм → сходимость:

Теперь предположим, что частичные суммы ( S_N ) ограничены сверху. Это означает, что для некоторого ( M > 0 ) выполняется ( S_N < M ) для всех ( N ). В этом случае, так как ( a_n > 0 ), ограниченность частичных сумм подразумевает, что не может быть такого, чтобы сумма ( S ) стремилась к бесконечности, иначе ( S_N ) тоже стремилась бы к бесконечности. Таким образом, если частичные суммы ограничены, то сумма ( S ) должна сходиться.

Итак, мы доказали, что бесконечная сумма положительных членов сходится тогда и только тогда, когда частичные суммы ограничены сверху.

Обсуждение ограничений этого утверждения для знакопеременных рядов:

Для знакопеременных рядов, таких как ( S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n ), где ( a_n > 0 ), ситуация значительно отличается. Существуют случаи, когда знакопеременные ряды могут быть условно сходящимися, даже если их частичные суммы не ограничены.

Примером может служить ряд Лейбница:

[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}
]

Этот ряд условно сходится, хотя его частичные суммы колеблются между двумя значениями и не являются ограниченными сверху в строгом смысле (они блуждают, но не уходят в бесконечность).

Таким образом, утверждение о сходимости и ограниченности частичных сумм верно только для положительных членов, но для знакопеременных рядов оно требует более тщательного рассмотрения. В частности, важно учитывать знаковую структуру и условия сходимости (например, абсолютная или условная сходимость).