Утверждение "Если функция непрерывна, то она дифференцируема" неверно. Для его опровержения можно привести несколько контрпримеров.

Контрпример 1: Функция Модуль

Рассмотрим функцию ( f(x) = |x| ). Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Однако она не дифференцируема в точке ( x = 0 ), так как в этой точке угол наклона (производная) меняется: слева от нуля производная равна -1, а справа от нуля — 1. Таким образом, в точке ( x = 0 ) производная не существует.

Контрпример 2: Функция Кусочной Линейности

Рассмотрим функцию ( f(x) = \begin{cases}
x^2, & x < 0 \
0, & x = 0 \
x, & x > 0
\end{cases} ). Эта функция также непрерывна в точке ( x = 0 ), но не дифференцируема в этой точке, так как слева от нуля производная равна 0 (производная от ( x^2 )), а справа от нуля равна 1 (производная от ( x )).

Для того, чтобы гарантировать, что непрерывная функция дифференцируема, необходимо добавить дополнительные условия, например:

Локальная липшицевость: Если функция непрерывна и локально липшицева, то она дифференцируема почти всюду. В частности, пусть ( f ) будет непрерывна на ( [a, b] ) и существует константа ( L ), такая что для всех ( x, y \in [a, b] ) выполняется ( |f(x) - f(y)| \leq L |x - y| ). Тогда ( f ) будет дифференцируема почти всюду на этом отрезке.

Класс ( C^1 ): Если функция имеет непрерывную производную (то есть она является ( C^1 )), то она непрерывна и дифференцируема.

Таким образом, основная идея заключается в том, что непрерывность самой по себе не гарантирует существование производной, и для этого нужны более строгие условия.