Давайте рассмотрим последовательность, заданную рекуррентно. Пусть последовательность ( a_n ) определяется соотношением

[
a_{n+1} = f(a_n),
]

где функция ( f ) является известной. Нам нужно найти предел ( L = \lim_{n \to \infty} a_n ).

1. Уравнение самосогласования

Если последовательность имеет предел, то в пределе справедливо следующее:

[
L = f(L).
]

Это уравнение позволяет нам найти возможные значения предела. Решив это уравнение относительно ( L ), мы получаем кандидаты на предел последовательности.

2. Монотонность и ограниченность

После нахождения кандидата на предел важно проверить, convergiert ли последовательность к этому пределу. Для этого используем свойства монотонности и ограниченности.

Монотонность: Если последовательность монотонна (вверх или вниз), то она может быть ограниченной.Ограниченность: Если последовательность ограничена сверху и снизу, и является монотонной, то по теореме о монотонной последовательности она будет сходиться.

Таким образом, если мы покажем, что ( a_n ) является возрастающей и ограниченной от верхней стороны (или убывающей и ограниченной от нижней), то мы можем утверждать, что она сходится.

3. Применение теоремы о контрактных отображениях

Если функция ( f ) является контрактным отображением, т.е. существует ( 0 < k < 1 ) такое, что

[
|f(x) - f(y)| \leq k |x - y|
]

для всех ( x, y ), находящихся в некотором интервале, то по теореме Банаха о сокращающих отображениях последовательность ( a_n ) будет сходиться к единственной фиксированной точке ( L ), которая решает уравнение ( L = f(L) ).

Пример

Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{1}{2}x + 1 ).

Находим фиксированную точку:

[
L = \frac{1}{2}L + 1 \implies \frac{1}{2}L = 1 \implies L = 2.
]

Проверим монотонность и ограниченность. Изначально примем, что ( a_1 = 0 ):

[
a_2 = f(a_1) = 1,
]
[
a_3 = f(a_2) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = 1.5,
]
[
a_4 = f(a_3) = \frac{1}{2} \cdot 1.5 + 1 = 1.75,
]

и так далее. Можно заметить, что последовательность ( a_n ) возрастает и ограничивается сверху 2.

Рассмотрим исправление определяющей функции. Убедимся, что ( f ) является контрактным отображением на интервале, например, ([0, 3]).

Все условия выполнены, то есть последовательность сходится к ( L = 2 ).

На этом примере видно, как использовать различные методы для нахождения предельного значения последовательности.